АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ

АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ (от авто... и греч. morphe - вид) (матем.), аналитическая функция, значения к-рой не изменяются, если её аргумент подвергается нек-рым дробно линейным преобразованиям. К А. ф. относятся периодич. функции и, в частности, эллиптические функции. Так, напр., если указанные преобразования - целые и имеют вид:[ris] где [ris] - комплексное число, отличное от нуля, то получаются А. ф., характеризуемые ур-нием[ris] т. е. периодич. функции с периодом[ris]. В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости на вектор со. Очевидно, что тот же сдвиг, повторённый сколько угодно раз, также не изменяет функции. В результате получается группа линейных [ris]область, к-рая каждым из этих преобразований отражается сама на себя. Тогда функция f, однозначная и аналитическая в области G, является А. ф. (по отношению к данной группе Г), если [ris] , [ris] . Наиболее важен случай, когда G есть круг или полуплоскость. Такую область можно рассматривать как изображение плоскости Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), а преобразования группы Г - как движения в плоскости Лобачевского. Соответствующие А. ф. можно рассматривать как такое обобщение периодич. функций, при к-ром сдвиги в евклидовой плоскости заменены движениями в плоскости Лобачевского. Эта точка зрения, развитая А. Пуанкаре, обеспечила успех в построении общей теории А. ф. (до А. Пуанкаре существенные результаты теории А. ф. получены Ф. Клейном). Вообще, вся теория А. ф., в её совр. состоянии, представляет замечат. пример плодотворности геом. идей Н. И. Лобачевского в их применении к задачам математич. анализа и теории функций. К общим А. ф., помимо вопросов конформного отображения, приводит также теория линейных дифференциальных уравнений, изучение алгебр, кривых порядка выше четвёртого (см. Алгебраическая геометрия), решение алгебр, ур-ний (напр., решение общего ур-ния пятой степени с одним неизвестным получается посредством А. ф.) и т. д.